Concave et convexe : la différence en trente secondes

Concave = creusé vers l’intérieur. Convexe = bombé vers l’extérieur. Pour ne plus jamais hésiter : le « ca » de con-CAve rappelle caverne — un creux dans la roche. Convexe, lui, vient du latin convexus, qui signifie « arrondi » ou « voûté ». L’objet le plus utile pour fixer ça : une cuillère à soupe. Le creux qui contient la soupe est concave. Le dos arrondi, bombé vers vous, est convexe. La même surface physique peut donc être concave d’un côté et convexe de l’autre — ce point a son importance, on y revient.

En maths : courbes et polygones

Pour une fonction, la règle repose sur le signe de la dérivée seconde f » :

• f » > 0 sur un intervalle → la fonction est convexe sur cet intervalle (la courbe « sourit », le creux est vers le bas).
• f » < 0 → la fonction est concave (la courbe « fait la moue », la bosse est vers le bas).

Exemples directement réutilisables en exercice : x² et eˣ sont convexes ; √x et ln(x) sont concaves. Pour les polygones, le critère est géométrique : dans un polygone convexe, toutes les diagonales restent à l’intérieur de la figure. Dans un polygone concave, au moins une diagonale passe à l’extérieur. Un carré ou un triangle sont convexes ; une étoile à cinq branches est concave.

En optique : lentilles et miroirs

La forme physique de la lentille suffit à la reconnaître :

• Lentille concave : plus mince au centre qu’aux bords. Elle est divergente et corrige la myopie.
• Lentille convexe : plus épaisse au centre qu’aux bords. Elle est convergente et corrige l’hypermétropie.

Pour les miroirs, l’effet sur la lumière suit la même logique. Les miroirs concaves concentrent la lumière : on les trouve dans les télescopes, les phares et les miroirs grossissants de maquillage. Les miroirs convexes élargissent le champ de vision : c’est le cas des rétroviseurs latéraux, qui capturent une zone bien plus large qu’un miroir plat.

	Concave	Convexe
Forme	Creux vers l’intérieur	Bombé vers l’extérieur
Astuce	« ca » = caverne = creux	convexus = voûté, arrondi
Maths (f »)	f » < 0 (courbe fait la moue)	f » > 0 (courbe sourit)
Exemples de fonctions	ln(x), √x	x², eˣ
Lentille	Plus mince au centre, divergente, myopie	Plus épaisse au centre, convergente, hypermétropie
Miroir	Concentre la lumière (loupe, phare)	Élargit le champ (rétroviseur)

Quand la règle ne suffit pas

Deux situations méritent une attention particulière. La surface vue des deux côtés. En optique, une surface convexe côté incident devient concave côté émergent. Préciser le côté par lequel la lumière arrive est donc obligatoire pour qualifier correctement une surface. La selle de cheval illustre bien ce principe : elle est concave du côté du cheval et convexe du côté du cavalier — les mathématiciens désignent ce type de forme comme une surface hyperbolique. La dérivée seconde nulle. Lorsque f » = 0 en un point, on ne peut pas conclure sur la concavité : il peut s’agir d’un point d’inflexion, où la courbe change de comportement sans être ni strictement concave ni strictement convexe sur cet intervalle. Vérifier le signe de f » autour du point reste la seule façon de trancher.